3.21 \(\int \frac {(e x)^m (a+b x^n)^4 (A+B x^n)}{c+d x^n} \, dx\)

Optimal. Leaf size=380 \[ \frac {b^2 x^{2 n+1} (e x)^m \left (6 a^2 B d^2-4 a b d (B c-A d)+b^2 c (B c-A d)\right )}{d^3 (m+2 n+1)}+\frac {b x^{n+1} (e x)^m \left (4 a^3 B d^3-6 a^2 b d^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)+b^3 \left (-c^2\right ) (B c-A d)\right )}{d^4 (m+n+1)}+\frac {(e x)^{m+1} \left (a^4 B d^4-4 a^3 b d^3 (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+b^4 c^3 (B c-A d)\right )}{d^5 e (m+1)}-\frac {b^3 x^{3 n+1} (e x)^m (-4 a B d-A b d+b B c)}{d^2 (m+3 n+1)}-\frac {(e x)^{m+1} (b c-a d)^4 (B c-A d) \, _2F_1\left (1,\frac {m+1}{n};\frac {m+n+1}{n};-\frac {d x^n}{c}\right )}{c d^5 e (m+1)}+\frac {b^4 B x^{4 n+1} (e x)^m}{d (m+4 n+1)} \]

[Out]

b*(4*a^3*B*d^3-b^3*c^2*(-A*d+B*c)+4*a*b^2*c*d*(-A*d+B*c)-6*a^2*b*d^2*(-A*d+B*c))*x^(1+n)*(e*x)^m/d^4/(1+m+n)+b
^2*(6*a^2*B*d^2+b^2*c*(-A*d+B*c)-4*a*b*d*(-A*d+B*c))*x^(1+2*n)*(e*x)^m/d^3/(1+m+2*n)-b^3*(-A*b*d-4*B*a*d+B*b*c
)*x^(1+3*n)*(e*x)^m/d^2/(1+m+3*n)+b^4*B*x^(1+4*n)*(e*x)^m/d/(1+m+4*n)+(a^4*B*d^4+b^4*c^3*(-A*d+B*c)-4*a*b^3*c^
2*d*(-A*d+B*c)+6*a^2*b^2*c*d^2*(-A*d+B*c)-4*a^3*b*d^3*(-A*d+B*c))*(e*x)^(1+m)/d^5/e/(1+m)-(-a*d+b*c)^4*(-A*d+B
*c)*(e*x)^(1+m)*hypergeom([1, (1+m)/n],[(1+m+n)/n],-d*x^n/c)/c/d^5/e/(1+m)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.62, antiderivative size = 380, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 11, number of rules used = 4, integrand size = 31, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.129, Rules used = {570, 20, 30, 364} \[ \frac {b x^{n+1} (e x)^m \left (-6 a^2 b d^2 (B c-A d)+4 a^3 B d^3+4 a b^2 c d (B c-A d)+b^3 \left (-c^2\right ) (B c-A d)\right )}{d^4 (m+n+1)}+\frac {(e x)^{m+1} \left (6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a^3 b d^3 (B c-A d)+a^4 B d^4-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+b^4 c^3 (B c-A d)\right )}{d^5 e (m+1)}+\frac {b^2 x^{2 n+1} (e x)^m \left (6 a^2 B d^2-4 a b d (B c-A d)+b^2 c (B c-A d)\right )}{d^3 (m+2 n+1)}-\frac {b^3 x^{3 n+1} (e x)^m (-4 a B d-A b d+b B c)}{d^2 (m+3 n+1)}-\frac {(e x)^{m+1} (b c-a d)^4 (B c-A d) \, _2F_1\left (1,\frac {m+1}{n};\frac {m+n+1}{n};-\frac {d x^n}{c}\right )}{c d^5 e (m+1)}+\frac {b^4 B x^{4 n+1} (e x)^m}{d (m+4 n+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((e*x)^m*(a + b*x^n)^4*(A + B*x^n))/(c + d*x^n),x]

[Out]

(b*(4*a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 6*a^2*b*d^2*(B*c - A*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/
(d^4*(1 + m + n)) + (b^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) - 4*a*b*d*(B*c - A*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(d^3*(1
+ m + 2*n)) - (b^3*(b*B*c - A*b*d - 4*a*B*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(d^2*(1 + m + 3*n)) + (b^4*B*x^(1 + 4*n)*(e*
x)^m)/(d*(1 + m + 4*n)) + ((a^4*B*d^4 + b^4*c^3*(B*c - A*d) - 4*a*b^3*c^2*d*(B*c - A*d) + 6*a^2*b^2*c*d^2*(B*c
- A*d) - 4*a^3*b*d^3*(B*c - A*d))*(e*x)^(1 + m))/(d^5*e*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*H
ypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c*d^5*e*(1 + m))

Rule 20

Int[(u_.)*((a_.)*(v_))^(m_)*((b_.)*(v_))^(n_), x_Symbol] :> Dist[(b^IntPart[n]*(b*v)^FracPart[n])/(a^IntPart[n
]*(a*v)^FracPart[n]), Int[u*(a*v)^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, m, n}, x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m + n]

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 364

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(a^p*(c*x)^(m + 1)*Hypergeometric2F1[-
p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, -((b*x^n)/a)])/(c*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 570

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^
(r_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, g, m, n}, x] && IGtQ[p, -2] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(e x)^m \left (a+b x^n\right )^4 \left (A+B x^n\right )}{c+d x^n} \, dx &=\int \left (\frac {\left (a^4 B d^4+b^4 c^3 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a^3 b d^3 (B c-A d)\right ) (e x)^m}{d^5}+\frac {b \left (4 a^3 B d^3-b^3 c^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)-6 a^2 b d^2 (B c-A d)\right ) x^n (e x)^m}{d^4}+\frac {b^2 \left (6 a^2 B d^2+b^2 c (B c-A d)-4 a b d (B c-A d)\right ) x^{2 n} (e x)^m}{d^3}+\frac {b^3 (-b B c+A b d+4 a B d) x^{3 n} (e x)^m}{d^2}+\frac {b^4 B x^{4 n} (e x)^m}{d}+\frac {(-b c+a d)^4 (-B c+A d) (e x)^m}{d^5 \left (c+d x^n\right )}\right ) \, dx\\ &=\frac {\left (a^4 B d^4+b^4 c^3 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a^3 b d^3 (B c-A d)\right ) (e x)^{1+m}}{d^5 e (1+m)}+\frac {\left (b^4 B\right ) \int x^{4 n} (e x)^m \, dx}{d}-\frac {\left ((b c-a d)^4 (B c-A d)\right ) \int \frac {(e x)^m}{c+d x^n} \, dx}{d^5}-\frac {\left (b^3 (b B c-A b d-4 a B d)\right ) \int x^{3 n} (e x)^m \, dx}{d^2}+\frac {\left (b^2 \left (6 a^2 B d^2+b^2 c (B c-A d)-4 a b d (B c-A d)\right )\right ) \int x^{2 n} (e x)^m \, dx}{d^3}+\frac {\left (b \left (4 a^3 B d^3-b^3 c^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)-6 a^2 b d^2 (B c-A d)\right )\right ) \int x^n (e x)^m \, dx}{d^4}\\ &=\frac {\left (a^4 B d^4+b^4 c^3 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a^3 b d^3 (B c-A d)\right ) (e x)^{1+m}}{d^5 e (1+m)}-\frac {(b c-a d)^4 (B c-A d) (e x)^{1+m} \, _2F_1\left (1,\frac {1+m}{n};\frac {1+m+n}{n};-\frac {d x^n}{c}\right )}{c d^5 e (1+m)}+\frac {\left (b^4 B x^{-m} (e x)^m\right ) \int x^{m+4 n} \, dx}{d}-\frac {\left (b^3 (b B c-A b d-4 a B d) x^{-m} (e x)^m\right ) \int x^{m+3 n} \, dx}{d^2}+\frac {\left (b^2 \left (6 a^2 B d^2+b^2 c (B c-A d)-4 a b d (B c-A d)\right ) x^{-m} (e x)^m\right ) \int x^{m+2 n} \, dx}{d^3}+\frac {\left (b \left (4 a^3 B d^3-b^3 c^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)-6 a^2 b d^2 (B c-A d)\right ) x^{-m} (e x)^m\right ) \int x^{m+n} \, dx}{d^4}\\ &=\frac {b \left (4 a^3 B d^3-b^3 c^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)-6 a^2 b d^2 (B c-A d)\right ) x^{1+n} (e x)^m}{d^4 (1+m+n)}+\frac {b^2 \left (6 a^2 B d^2+b^2 c (B c-A d)-4 a b d (B c-A d)\right ) x^{1+2 n} (e x)^m}{d^3 (1+m+2 n)}-\frac {b^3 (b B c-A b d-4 a B d) x^{1+3 n} (e x)^m}{d^2 (1+m+3 n)}+\frac {b^4 B x^{1+4 n} (e x)^m}{d (1+m+4 n)}+\frac {\left (a^4 B d^4+b^4 c^3 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a^3 b d^3 (B c-A d)\right ) (e x)^{1+m}}{d^5 e (1+m)}-\frac {(b c-a d)^4 (B c-A d) (e x)^{1+m} \, _2F_1\left (1,\frac {1+m}{n};\frac {1+m+n}{n};-\frac {d x^n}{c}\right )}{c d^5 e (1+m)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 1.19, size = 332, normalized size = 0.87 \[ \frac {x (e x)^m \left (\frac {b^2 d^2 x^{2 n} \left (6 a^2 B d^2+4 a b d (A d-B c)+b^2 c (B c-A d)\right )}{m+2 n+1}+\frac {b d x^n \left (4 a^3 B d^3+6 a^2 b d^2 (A d-B c)+4 a b^2 c d (B c-A d)+b^3 c^2 (A d-B c)\right )}{m+n+1}+\frac {a^4 B d^4+4 a^3 b d^3 (A d-B c)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)+4 a b^3 c^2 d (A d-B c)+b^4 c^3 (B c-A d)}{m+1}+\frac {b^3 d^3 x^{3 n} (4 a B d+A b d-b B c)}{m+3 n+1}-\frac {(b c-a d)^4 (B c-A d) \, _2F_1\left (1,\frac {m+1}{n};\frac {m+n+1}{n};-\frac {d x^n}{c}\right )}{c (m+1)}+\frac {b^4 B d^4 x^{4 n}}{m+4 n+1}\right )}{d^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((e*x)^m*(a + b*x^n)^4*(A + B*x^n))/(c + d*x^n),x]

[Out]

(x*(e*x)^m*((a^4*B*d^4 + b^4*c^3*(B*c - A*d) + 6*a^2*b^2*c*d^2*(B*c - A*d) + 4*a*b^3*c^2*d*(-(B*c) + A*d) + 4*
a^3*b*d^3*(-(B*c) + A*d))/(1 + m) + (b*d*(4*a^3*B*d^3 + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) + b^3*c^2*(-(B*c) + A*d) + 6*a
^2*b*d^2*(-(B*c) + A*d))*x^n)/(1 + m + n) + (b^2*d^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) + 4*a*b*d*(-(B*c) + A*d)
)*x^(2*n))/(1 + m + 2*n) + (b^3*d^3*(-(b*B*c) + A*b*d + 4*a*B*d)*x^(3*n))/(1 + m + 3*n) + (b^4*B*d^4*x^(4*n))/
(1 + m + 4*n) - ((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c*(1
+ m))))/d^5

________________________________________________________________________________________

fricas [F]  time = 0.64, size = 0, normalized size = 0.00 \[ {\rm integral}\left (\frac {{\left (B b^{4} x^{5 \, n} + A a^{4} + {\left (4 \, B a b^{3} + A b^{4}\right )} x^{4 \, n} + 2 \, {\left (3 \, B a^{2} b^{2} + 2 \, A a b^{3}\right )} x^{3 \, n} + 2 \, {\left (2 \, B a^{3} b + 3 \, A a^{2} b^{2}\right )} x^{2 \, n} + {\left (B a^{4} + 4 \, A a^{3} b\right )} x^{n}\right )} \left (e x\right )^{m}}{d x^{n} + c}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)^m*(a+b*x^n)^4*(A+B*x^n)/(c+d*x^n),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*b^4*x^(5*n) + A*a^4 + (4*B*a*b^3 + A*b^4)*x^(4*n) + 2*(3*B*a^2*b^2 + 2*A*a*b^3)*x^(3*n) + 2*(2*B*a
^3*b + 3*A*a^2*b^2)*x^(2*n) + (B*a^4 + 4*A*a^3*b)*x^n)*(e*x)^m/(d*x^n + c), x)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} {\left (b x^{n} + a\right )}^{4} \left (e x\right )^{m}}{d x^{n} + c}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)^m*(a+b*x^n)^4*(A+B*x^n)/(c+d*x^n),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*x^n + A)*(b*x^n + a)^4*(e*x)^m/(d*x^n + c), x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 0.92, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\left (b \,x^{n}+a \right )^{4} \left (B \,x^{n}+A \right ) \left (e x \right )^{m}}{d \,x^{n}+c}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*x)^m*(b*x^n+a)^4*(B*x^n+A)/(d*x^n+c),x)

[Out]

int((e*x)^m*(b*x^n+a)^4*(B*x^n+A)/(d*x^n+c),x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)^m*(a+b*x^n)^4*(A+B*x^n)/(c+d*x^n),x, algorithm="maxima")

[Out]

((b^4*c^4*d*e^m - 4*a*b^3*c^3*d^2*e^m + 6*a^2*b^2*c^2*d^3*e^m - 4*a^3*b*c*d^4*e^m + a^4*d^5*e^m)*A - (b^4*c^5*
e^m - 4*a*b^3*c^4*d*e^m + 6*a^2*b^2*c^3*d^2*e^m - 4*a^3*b*c^2*d^3*e^m + a^4*c*d^4*e^m)*B)*integrate(x^m/(d^6*x
^n + c*d^5), x) + ((m^4 + 2*m^3*(3*n + 2) + (11*n^2 + 18*n + 6)*m^2 + 6*n^3 + 2*(3*n^3 + 11*n^2 + 9*n + 2)*m +
11*n^2 + 6*n + 1)*B*b^4*d^4*e^m*x*e^(m*log(x) + 4*n*log(x)) - (((m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 3
0*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*b^4*c^3*d*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(
5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a
*b^3*c^2*d^2*e^m + 6*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 +
15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a^2*b^2*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*
m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a^3*b*d^4*e^m)*A - ((m^4 + 2*m^3*(5*n + 2
) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*b^4*c^4*
e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m
+ 35*n^2 + 10*n + 1)*a*b^3*c^3*d*e^m + 6*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 +
2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a^2*b^2*c^2*d^2*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4
+ (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a^3*b*c*d^3*e^m + (
m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2
+ 10*n + 1)*a^4*d^4*e^m)*B)*x*x^m + ((m^4 + m^3*(7*n + 4) + (14*n^2 + 21*n + 6)*m^2 + 8*n^3 + (8*n^3 + 28*n^2
+ 21*n + 4)*m + 14*n^2 + 7*n + 1)*A*b^4*d^4*e^m - ((m^4 + m^3*(7*n + 4) + (14*n^2 + 21*n + 6)*m^2 + 8*n^3 + (8
*n^3 + 28*n^2 + 21*n + 4)*m + 14*n^2 + 7*n + 1)*b^4*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + m^3*(7*n + 4) + (14*n^2 + 21*n + 6)*m
^2 + 8*n^3 + (8*n^3 + 28*n^2 + 21*n + 4)*m + 14*n^2 + 7*n + 1)*a*b^3*d^4*e^m)*B)*x*e^(m*log(x) + 3*n*log(x)) -
(((m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n
+ 1)*b^4*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n +
2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*a*b^3*d^4*e^m)*A - ((m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*
n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*b^4*c^2*d^2*e^m - 4*(m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6
)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*a*b^3*c*d^3*e^m + 6*(m^4 + 4*m^3*(2*n + 1
) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*a^2*b^2*d^4*e^m)*B)
*x*e^(m*log(x) + 2*n*log(x)) + (((m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 +
27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*b^4*c^2*d^2*e^m - 4*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 +
(24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a*b^3*c*d^3*e^m + 6*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n +
6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a^2*b^2*d^4*e^m)*A - ((m^4 + m^3*(9*n +
4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*b^4*c^3*d*e^m - 4*(
m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a*
b^3*c^2*d^2*e^m + 6*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m +
26*n^2 + 9*n + 1)*a^2*b^2*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 5
2*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a^3*b*d^4*e^m)*B)*x*e^(m*log(x) + n*log(x)))/((m^5 + 5*m^4*(2*n + 1) +
5*(7*n^2 + 8*n + 2)*m^3 + 24*n^4 + 5*(10*n^3 + 21*n^2 + 12*n + 2)*m^2 + 50*n^3 + (24*n^4 + 100*n^3 + 105*n^2
+ 40*n + 5)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*d^5)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \[ \int \frac {{\left (e\,x\right )}^m\,\left (A+B\,x^n\right )\,{\left (a+b\,x^n\right )}^4}{c+d\,x^n} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((e*x)^m*(A + B*x^n)*(a + b*x^n)^4)/(c + d*x^n),x)

[Out]

int(((e*x)^m*(A + B*x^n)*(a + b*x^n)^4)/(c + d*x^n), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [C]  time = 80.30, size = 1921, normalized size = 5.06 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x)**m*(a+b*x**n)**4*(A+B*x**n)/(c+d*x**n),x)

[Out]

A*a**4*e**m*m*x*x**m*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 1 +
1/n)) + A*a**4*e**m*x*x**m*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/
n + 1 + 1/n)) + 4*A*a**3*b*e**m*m*x*x**m*x**n*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n +
1 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + 4*A*a**3*b*e**m*x*x**m*x**n*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/
n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + 4*A*a**3*b*e**m*x*x**m*x**n*lerchphi(d*x**n*exp
_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + 6*A*a**2*b**2*e**m*m*x*
x**m*x**(2*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 3
+ 1/n)) + 12*A*a**2*b**2*e**m*x*x**m*x**(2*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n +
2 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) + 6*A*a**2*b**2*e**m*x*x**m*x**(2*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1
, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 3 + 1/n)) + 4*A*a*b**3*e**m*m*x*x**m*x**(3*n)*lerchp
hi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 3 + 1/n)*gamma(m/n + 3 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 4 + 1/n)) + 12*A*a*b**
3*e**m*x*x**m*x**(3*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 3 + 1/n)*gamma(m/n + 3 + 1/n)/(c*n*gamma(m/
n + 4 + 1/n)) + 4*A*a*b**3*e**m*x*x**m*x**(3*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 3 + 1/n)*gamma(m/n
+ 3 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 4 + 1/n)) + A*b**4*e**m*m*x*x**m*x**(4*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1
, m/n + 4 + 1/n)*gamma(m/n + 4 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 5 + 1/n)) + 4*A*b**4*e**m*x*x**m*x**(4*n)*lerchphi(d
*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 4 + 1/n)*gamma(m/n + 4 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 5 + 1/n)) + A*b**4*e**m*x*x**
m*x**(4*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 4 + 1/n)*gamma(m/n + 4 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 5 + 1
/n)) + B*a**4*e**m*m*x*x**m*x**n*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*
n**2*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + B*a**4*e**m*x*x**m*x**n*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamm
a(m/n + 1 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + B*a**4*e**m*x*x**m*x**n*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/
n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + 4*B*a**3*b*e**m*m*x*x**m*x**(2*n)*lerchphi(d
*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 3 + 1/n)) + 8*B*a**3*b*e**
m*x*x**m*x**(2*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 3
+ 1/n)) + 4*B*a**3*b*e**m*x*x**m*x**(2*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2
+ 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 3 + 1/n)) + 6*B*a**2*b**2*e**m*m*x*x**m*x**(3*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c,
1, m/n + 3 + 1/n)*gamma(m/n + 3 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 4 + 1/n)) + 18*B*a**2*b**2*e**m*x*x**m*x**(3*n)*le
rchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 3 + 1/n)*gamma(m/n + 3 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 4 + 1/n)) + 6*B*a**2*
b**2*e**m*x*x**m*x**(3*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 3 + 1/n)*gamma(m/n + 3 + 1/n)/(c*n**2*ga
mma(m/n + 4 + 1/n)) + 4*B*a*b**3*e**m*m*x*x**m*x**(4*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 4 + 1/n)*g
amma(m/n + 4 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 5 + 1/n)) + 16*B*a*b**3*e**m*x*x**m*x**(4*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar
(I*pi)/c, 1, m/n + 4 + 1/n)*gamma(m/n + 4 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 5 + 1/n)) + 4*B*a*b**3*e**m*x*x**m*x**(4*n)*
lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 4 + 1/n)*gamma(m/n + 4 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 5 + 1/n)) + B*b*
*4*e**m*m*x*x**m*x**(5*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 5 + 1/n)*gamma(m/n + 5 + 1/n)/(c*n**2*ga
mma(m/n + 6 + 1/n)) + 5*B*b**4*e**m*x*x**m*x**(5*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 5 + 1/n)*gamma
(m/n + 5 + 1/n)/(c*n*gamma(m/n + 6 + 1/n)) + B*b**4*e**m*x*x**m*x**(5*n)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1,
m/n + 5 + 1/n)*gamma(m/n + 5 + 1/n)/(c*n**2*gamma(m/n + 6 + 1/n))

________________________________________________________________________________________